Materi Kelas 11: Persamaan Lingkaran (Bagian 1)

13 Januari 2017 Tutorial Matematika


Lingnkara adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik yang berada di tengah lingkaran disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r


Rumus jarak dari O (0, 0) ke P (x, y):

Rumus Pythagoras:


Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5!

Jawab:


2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r


Rumus persamaan lingkaran:

(x’- a)2 + (y’ - b)2 = r2

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4!

Jawab:

Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2

Persamaan lingkaran:

(x- a)2 + (y - b)2 = r2
(x- 3)2 + (y - 2)2 = 42
(x- 3)2 + (y - 2)2 = 16

Contoh 2:

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)!

Jawab:


Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran:

(x- a)2 + (y - b)2 = r2
(x- 2)2 + (y - 3)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran umumnya memiliki bentuk seperti berikut:

Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari - jari di r:

L ≡ x2+y2 = r2

Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r:

L ≡ x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran

Contoh:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 - 4x +2y - 20= 0

Jawab:

A = -4, B = 2, dan C = -20


3. Menentukan Kedudukan Titik pada Lingkaran

Bentuk nilai kuasa titik terhadap lingkaran:

K = m2+n2 +Am + Bn +C dimana,

- K < 0: titik di dalam lingkaran
- K = 0: titik pada lingkaran
- K > 0: titik di luar lingkaran

Contoh:

Tentukan kedudukan titik M(10,5) terhadap lingkaran X2+y2 -8x -10y +16 =0!

Jawab:

M(10,5) K = (10)2+52 -8.(10) -10.5 +16 = 11 (K > 0)

Jadi, titik berada di luar lingkaran

4. Menentukan Kedudukan Garis pada Lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.

Rumus:

D = b2 - 4ac dimana,

- D<0: garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
- D=0: garis menyinggung lingkaran
- D>0: berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh:

Tentukan posisi garis y = x + 10 terhadap lingkaran x2 + y2 = 9!

Jawab:

x2 + (x + 10)2 = 9
x2 + (x2 + 20x + 100) - 9 = 0
2x2 + 20x + 91 = 0

D = b2 - 4ac
D = 202 - (4 x 91 x 2)
D = 400 - 728 = -328 (D < 0)

Jadi, garis berada di luar lingkaran.

Oleh: Feliciany H T
(Dikutip dari berbaagi sumber)